Изучаются отображения сдвига отрезков (дуг окружности), которые можно представить как отображения перекладывания отрезков с перекрытием. Известно, что для любого отображения такого вида существует борелевская вероятностная инвариантная безатомная мера, которая строится как слабый предел инвариантных мер отображений с периодическими параметрами. В последнем случае это просто нормированная мера Лебега на некотором семействе подотрезков. Для таких предельных мер в случае сдвига дуг окружности показывается, что любая точка носителя этой меры может быть сделана периодической сколь угодно малым изменением параметров системы без изменения числа отрезков. Для произвольной инвариантной меры при помощи теоремы Пуанкаре о возвращении показывается, что любая точка может быть сделана периодической при малом изменении параметров системы, причем количество интервалов для отображения увеличивается не более чем на два.