Статья: УРАВНЕНИЯ ЛАКСА НА СУПЕРАЛГЕБРАХ ЛИ (2024)

Теоретически рассмотрена рентгеновская Лауэ дифракция в кристалле кремния с термомиграционными каналами Si(Al). На основе модели упругих полей атомных смещений в канале получены выражения распределения деформаций для описания дифракции в геометрии Лауэ. Выполнен численный расчет распределения интенсивности рентгеновского рассеяния вблизи узла обратной решетки. Показано отличие дифракции в совершенном и деформированном кристалле.

Геометрия Лобачевского моделирует среду с материальными уравнениями специального вида: Di = ϵ0ϵikEk, Bi = μ0μikHk, где два тензора совпадают: ϵik(x) = μik(x). В пространстве Лобачевского используются квазидекартовые координаты (x, y, z), они моделируют среду, неоднородную вдоль оси z. В этих координатах построены точные решения уравнений Максвелла в комплексной форме Майораны-Оппенгеймера. Задача сводится к дифференциальному уравнению второго порядка для некоторой основной функции, это уравнение может быть связано с одномерной задачей Шредингера для частицы во внешнем потенциальном поле U(z) = U0e2z. В квантовой механике геометрия Лобачевского действует как эффективный потенциальный барьер с коэффициентом отражения R = 1; в электродинамическом контексте эта геометрия действует как распределенное в пространстве идеальное зеркало. Проникновение электромагнитного поля в эффективную среду вдоль оси z зависит от характеристик электромагнитной волны ω, k2 1 +k2 2 и радиуса кривизны ρ пространства Лобачевского. Построенные обобщенные волновые решения f(t, x, y, z) = E + iB и соответствующая система уравнений преобразуются в действительную форму, что позволяет связать геометрические характеристики с выражениями для эффективных тензоров электрической и магнитной проницаемостей.

Цель работы - исследование нерелятивистского приближения в 39-компонентной теории частицы со спином 2. Используется явный вид матриц Γa размерности 39×39 основного уравнения, записанного в декартовых координатах и с учетом внешних электромагнитных полей. Для выделения в волновой функции больших и малых переменных с точки зрения нерелятивистского приближения используются проективные операторы, строящиеся на основе минимального полинома 7-й степени для матрицы Γ0. Разбиение на большие и малые переменные проведено в явном виде, в каждой группе найдены независимые переменные, остальные выражены через них. В частности, среди больших переменных независимыми являются только 5. Выведено нерелятивистское уравнение для 5-компонентной волновой функции; в нем выделен член, описывающий взаимодействие магнитного момента частицы с внешним магнитным полем. Этот дополнительный член взаимодействия строится из проекций оператора спина и компонент внешнего магнитного поля.

В настоящей работе система 11 уравнений для массивной частицы Штюкельберга исследуется в присутствии внешнего однородного электрического поля. Применяет- ся тетрадный формализм, согласно методу Тетрода-Вейля-Фока-Иваненко. Используются цилиндрические координаты и соответствующая диагональная тетрада. Разделив переменные, получили систему дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных по координатам (r, z). Для решения этой системы применяется метод Федорова-Гронского, согласно которому на основе 11-мерного оператора спина введены три проективных оператора, позволяющие разложить полную волновую функцию в сумму трех частей. Согласно общему методу, зависимость каждой проективной составляющей от переменной r должна определяться только одной функцией. Также используются дифференциальные ограничения первого порядка, совместимые с системой уравнений и позволяющие преобразовать все уравнения в частных производных по координатам (r, z) в обыкновенные дифференциальные уравнения по переменной z. Последняя система решена в терминах вырожденных гипергеометрических функций. Построены четыре независимые решения, в отличие от случая обычной частицы со спином 1, описываемой уравнением Даффина-Кемера, когда возможны только три решения.

Изучены контракции калибровочных моделей с ортогональными группами Кэли-Клейна SO(2; ϵ), SO(3; ϵ) и унитарными группами SU(2; ϵ) в качестве калибровочных групп. В пределе нулевых контракционных параметров ортогональные группы изоморфны неполупростым группам Евклида и Ньютона соответствующей размерности, а пространства полей материи становятся расслоенными пространствами с вырожденной метрикой. Особое внимание уделено согласованию спонтанного нарушения симметрии с процедурой контракции групп. Показано, что контрактированные калибровочные теории описывают тот же набор полей с теми же массами, что и теории с исходными простыми группами, если выбранный вакуум в соответствующем пределе принадлежал базе расслоенного пространства полей материи. Получены зависящие от контракционных параметров лагранжианы моде- лей, что позволяет проследить порядок обнуления слагаемых в лагранжианах при стремлении параметров контракции к нулю.

В работе рассматривается круговая арка, нагруженная равномерно распределенным нормальным давлением, направленным к центру. Концы арки прикреплены тросами, один конец которых прикреплен к дуге арки под соответствующим углом, и расстояние между точками прикрепления тросов не может увеличиваться. Определены значения давления, при которых возможны искривленные формы равновесия арки, и найдено наименьшее из этих значений, являющееся критической силой.

Фигурой постоянной ширины называется такая фигура, у которой расстояние между любыми параллельными опорными прямыми одно и то же. Ясно, что таким свойством обладает круг, но не только. Простешей фигурой постоянной ширины (кроме круга) является треугольник Рёло. В настоящей работе решается задача устойчивости треугольника Рёло, находящегося под действием нормальной нагрузки. Получено значение критического давления.

Перманент многомерных матриц выражен в терминах операций над элементами коммутативной алгебры с нильпотентными индекса 2 образующими. С помощью техники, основанной на данной взаимосвязи, доказано несколько свойств перманента. Изучены различные виды многомерных перестановок. Перманент многомерных матриц рассмотрен с точки зрения перечисляющей функции многомерных перестановок.