Работа посвящена изучению возможностей применения искусственных импульсных (или спайковых) нейронных сетей для решения задачи приближенной факторизации Винера - Хопфа для процессов Леви в рамках интеллектуальной системы машинного обучения. Одним из приложений факторизации Винера - Хопфа является вычисление цен барьерных опционов, в связи с чем рассматриваемая задача имеет важный прикладной аспект для вычислительной финансовой математики в части создания гибридных численных методов, комбинирующих современные технологии нейросетей третьего поколения и классические методы вычислительной математики. В рамках статьи предложена импульсная нейронная сеть с моделью «интегрировать-и-сработать» с утечками для факторизации тригонометрического полинома в комплексной форме, коэффициенты которого представляют собой распределение вероятностей. Искомые многочлены-факторы имеют аналогичную вероятностную интерпретацию, при этом у первого фактора первая половина коэффициентов равна нулю, а у второго - вторая половина. Вероятностная интерпретация задачи позволяет обойтись без кодирования и декодирования входных и выходных данных в спайки и обратно. Обучение сети проводится для одного набора коэффициентов полинома с целью минимизировать ошибку приближения этого полинома произведением факторов, коэффициенты которых предсказываются сетью, для чего программно реализована собственная функция потерь. В отличие от традиционного подхода к подбору параметров модели на обучающей выборке, в данной работе предлагается минимизировать ошибку приближения конкретной характеристической функции процесса Леви произведением многочленов-факторов. При этом модель не использует фактические значения коэффициентов факторов при обучении, а только значения многочленов, вычисленные с помощью быстрого преобразования Фурье. В рамках вычислительных экспериментов представлен пример факторизации полинома 255-й степени, связанного с гауссовым процессом Леви, с помощью спайковой нейросети. Программная реализация предлагаемого в статье подхода к решению задачи факторизации написана на языке программирования Python с использованием фреймворка машинного обучения pyTorch и библиотеки snnTorch импульсных нейронных сетей.
Статья посвящена развитию метода геометрического моделирования, основанного на схемах подразделений и применению этого метода к параметрическому описанию поверхности или области по облаку точек, полученному каким‑либо способом. Для нахождения начальной последовательности схемы подразделений применяется метод наименьших квадратов, но непосредственное его использование затруднительно из-за огромных размеров матриц. Поскольку схемы подразделений основаны на свертках последовательностей, для устранения проблемы размеров матриц, используется дискретное преобразование Фурье и методом наименьших квадратов находится не сама начальная последовательность, а ее преобразование Фурье.
Получен упрощённый вариант формулы суммирования Эйлера - Маклорена. Формула включает в себя интегральную оценку суммы дискретных отсчётов функции и поправку к ней в виде суммы ряда весовых граничных значений её нечётных производных. Упрощением является исключение из результата суммирования полусуммы граничных значений функции и достигается путём смещения hr отсчётов внутрь отрезков интегрирования. Доказывается, что оптимальным является смещение каждого отсчёта в середину отрезка r = 1/2. Это смещение задаёт пределы интегральной оценки yo, ym и значения весовых коэффициентов производных поправочного ряда. Найдено аналитическое выражение этих коэффициентов и их производящая функция. На примерах показана справедливость полученной формулы и производящей функции её коэффициентов. Формула была использована для получения приближённых выражений для дзета-функции Римана, пси-функции, полигамма функций, а также сумм бесконечных обратностепенных рядов и гармонического ряда. На основании анализа погрешности этих выражений показаны преимущества упрощённой формулы перед формулой Эйлера - Маклорена в точности и краткости.
Представлен новый метод гладкой кусочно-полиномиальной аналитической аппроксимации экспериментальных данных любой размерности и степени изменчивости.
Альтернативой данному методу являются кубические и бикубические сплайны, которые имеют свои достоинства и недостатки.
Исследования, направленные на создание более гибких методов гладкой аппроксимации больших данных, активно ведутся учеными, но подобного аналога, представленного в настоящей работе, автором не найдено, в том числе и для многомерных зависимостей.
Метод: Экспериментальные данные часто зависят от многих переменных, которые для задач компрессии, прогноза и передачи данных локально могут быть аппроксимированы простыми аналитическими функциями.
Они могут быть локальными полиномами как на интервалах в одномерном случае,
так и на полигонах в многомерных случаях.
Представленный в работе метод гладкого согласования локальных функций между собой может быть расширен с одномерной кусочно-полиномиальной аппроксимации на более
высокие размерности, что имеет множество научных и практических применений.
В данном случае можно сохранять и передавать коэффициенты локальных полиномов или других локальных функций вместо того, чтобы использовать исходные данные, часто имеющие чрезмерно большой объем.
В описываемом методе использовано клеточное разбиение области интереса и на этих клетках определены локальные функции — полиномы низких степеней или другие параметрические функции.
В местах соединения клеток задаются переходные зоны, в которых локальные функции согласуются друг с другом, образуя достаточно гладкий переход между ними.
Количество локальных функций в точке совпадает с ее индексом топологического покрытия.
Результатом является единая, дважды дифференцируемая аналитическая функция.
Для гладкого согласования локальных функций используются базовые функции, основанные на специальных полиномах второй или третьей степени.
Значения этих функций плавно уменьшаются от единицы до нуля.
Значения производной базовой функции на о