SCI Библиотека

Теория функций действительного переменного уже давно прочно вошла в программы математических факультетов университетов и педагогических институтов. Это и понятно, так как теория множеств и теория функций являются в настоящее время базой математического образования каждого грамотного математика. Однако освоение этой базы может быть достаточно успешным лишь в том случае, если изучение теоретического материала будет сопровождаться овладением методом этой науки, т.е. если изучающий теорию сможет применять излагаемые в этой теории методы к самостоятельному решению задач, к самостоятельному доказательству несложных теорем или конструированию примеров.

К сожалению, в существующей учебной литературе по теории функций еще мало имеется книг, которые имели бы достаточное количество материала для самостоятельных упражнений. Из отечественной и переводной литературы можно указать лишь несколько книг, которые содержат ряд интересных задач по теории множеств и теории функций, — это, учителей Н. И. Натансона «Теория функций и переменных», 1957 г., А. Н. Колмогорова «Введение в теорию функций действительного переменного», 1938 г., И. П. Макарова «Теория функций действительного переменного», 1962 г., Г. Е. Шилова «Математический анализ, специальный курс», 1962 г., а также Калмана Халмоша «Теория меры». Некоторые из указанных книг нашли влияние и в настоящей книге.

От других учебников математического анализа настоящая книга отличается прежде всего тем, что мы совершенно отказались от понятия предела переменной величины, сведя все вопросы теории пределов к рассмотрению предельных значений функций. Это позволяет сделать изложение логически более прозрачным. Правда, в вышедшей недавно книге академика Н. Н. Лузина (*) дано обоснование понятия предела переменной величины; однако, потребуется некоторое время, чтобы эти идеи вошли в учебники анализа.

При изложении мы стремились избегать формализма и догматизма. Так, всякий раз, когда мы перечисляли условия применимости той или иной теоремы, мы приводили примеры, указывающие на необходимость этих условий. В теоретических приложениях мы не ограничивались обычным формальным определением длины и площади, но дали развернутую их теорию, не зависящую от интегрального исчисления.

Настоящая работа посвящена исследованиям по теории роста функций, представленных, или рядом Taylor’a, или произведениями типа Weierstrass’a, а также изучению общих принципов роста модуля функций с точки зрения одно значности роста модуля функций; последнее понятие — новое в анализе, и его роль вероятно будет оценена в будущем.

Весьма естественно, если предложен функции — ряд или функции — произведение (Weierstrass’овское), изучать их рост асимптотически и непосредственно, изучая индивидуальности заданных рядов или произведений; это мы и делаем на примере функции E(

В тексте используются результаты, полученные с помощью специализированной компьютерной программы символьных вычислений — MAPLE (десятая версия), а также следующие условные обозначения и равенства: Сji = C (i, j) — биномиальные коэффициенты; hypergeom — гипергеометрическая функция; pochhammer — функция Похгаммера; (m + 1), (р, x − s) — полная и неполная гамма-функции;

Эта книга представляет собою руководство, написанное применительно к действующим учебным программам наших университетов. Имея в виду все возрастающее значение теории функций в системе образования математиков, я включил в книгу (мелким шрифтом) также и ряд вопросов, выходящих за пределы программы.

Не желая, однако, чрезмерно увеличивать объём книги, я был вынужден всё же оставить в стороне много важного материала теорию производных, более общие теории интегрирования, вопросы, пограничные с теорией функций комплексной переменной и многое другое. Изложению этих вопросов я предполагаю посвятить особую книгу.

Теория функций вещественной переменной излагается в университетах, начиная с третьего курса. Поэтому у читателя предполагается свободное владение основными понятиями анализа иррациональные числа, теория пределов, важнейшие свойства непрерывных функций, производные, интегралы, ряды считаются известными в объёме любого обстоятельного курса дифференциального и интегрального исчисления.

Конструктивная теория функций берёт своё начало в замечательных работах нашего великого математика П. Л. Чебышева по теории интерполирования, по механическим квадратурам, по проблеме моментов и особенно по многочленам, наименее уклоняющимся от заданной функции. Исследования П. Л. Чебышева были продолжены его учениками А. Н. Коркиным, Е. И. Золотарёвым, А. А. и В. А. Марковыми.

Дальнейшее развитие конструктивной теории также связано с именами русских и советских учёных. Из них в первую очередь следует указать на С. Н. Бернштейна, который, собственно, и оформил конструктивную теорию функций как самостоятельную математическую дисциплину, поставив и разрешив ряд основных проблем этой отрасли анализа. Кстати, и самый термин «конструктивная теория функций» предложен С. Н. Бернштейном.

Книга представляет собой пособие по специальным главам математики для вузов и является естественным продолжением общего курса математики этого же автора. Книга содержит следующие главы: теория поля, теория аналитических функций, операционное исчисление, линейная алгебра, тензоры, вариационное исчисление, интегральные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения. Изложение проводится с позиций современной прикладной математики с максимальным использованием интуиции и аналогий, со специальным вниманием к качественному и количественному описанию фактов.

Книга рассчитана на студентов вузов, преподавателей, инженеров и научных работников в области технических наук.

Эта книга написана на основе лекций, прочитанных автором на протяжении ряда лет студентам высших технических учебных заведений различных специальностей, а также студентам-физикам. Ее содержание соответствует утвержденной в 1964 г. программе общего курса высшей математики для инженерно-технических специальностей вузов. Некоторые менее существенные, по мнению автора, пункты из этой программы в книге опущены.

С другой стороны, добавлен ряд вопросов, выходящих из указанной программы, но непосредственно примыкающих к ней. Для удобства читателя изложение этих вопросов напечатано мелким шрифтом; мелким шрифтом набраны также пункты, которые в указанной программе приведены как необязательные, и примеры.

В этой небольшой по объёму книге автору удалось собрать и изложить богатый материал, разбросанный по различным источникам. Компактное изложение предполагает определённую математическую подготовку читателя, однако для чтения книги достаточно знакомства с традиционными курсами анализа и высшей алгебры. Книгу можно использовать как учебное пособие при изучении современного анализа.

Книга представляет интерес для математиков различных специальностей. Она будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам университетов и пединститутов.

Книга представляет собой пособие по решению задач математического анализа (функции одной переменной). Большинство параграфов книги содержит краткие теоретические введения, решения типовых примеров и задачи для самостоятельного решения. Кроме задач алгоритмически-вычислительного характера, в ней содержится много задач, иллюстрирующих теорию и способствующих более глубокому её усвоению, развивающих самостоятельное математическое мышление учащихся.

Цель книги — научить студентов самостоятельно решать задачи по курсу математического анализа (изучение теории должно производиться по какому-либо из существующих учебников).

Книга предназначена для студентов технических, экономических вузов и нематематических факультетов университетов. Она может оказаться полезной лицам, желающим пройти углублённый вузовский курс математического анализа, начинающим преподавателям, а также учителям средней школы, ведущим факультативные курсы в старших классах.