Предмет исследования: задачи численного определения точечных источников в обратных задачах тепломассопереноса.
Цель исследования: описание теоретических результатов (теорема существования и единственности решений обратной задачи), создание алгоритма решения задачи численного определения точечных источников, исследование его свойств, численная реализация алгоритма и его тестирование и проверка на устойчивость.
Объект исследования: задачи численного определения точечных источников (правой части специального вида) в обратных задачах тепломассопереноса. Источники задаются в виде суммы дельта-функций Дирака с коэффициентами, зависящими от времени и характеризующими мощность соответствующего источника. Они являются неизвестными и подлежат определению вместе с решением уравнения. В качестве данных переопределения задаются значения решения в некотором наборе точек, лежащем внутри области.
Методы исследования: алгоритм основан на методе конечных элементов по пространственным переменным и методе конечных разностей по времени. Неизвестная правая часть определяется на каждом временном слое при помощи условия переопределения.
Основные результаты исследования: описание алгоритма решения, его свойств, результаты численных экспериментов. В том числе описаны условия, когда алгебраическая система, к которой приводится задача, имеет единственное решение, проведено сравнение данных, полученных в результате расчетов, с тестовыми примерами. Расчеты проводились в том числе и с добавлением к данным замеров случайного шума различного уровня. Результаты показали, что решение устойчиво при случайном возмущении данных задачи.
Предмет исследования: математическая модель потребления метана в почвах.
Цель исследования: разработать алгоритм численного решения обратной задачи идентификации скорости потребления метана в почвах.
Методы и объекты исследования: в данной работе рассматривается вопрос о восстановлении скорости потребления метана в почвах по данным замерам его концентрации в наборе точек. Математическая модель – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, а искомый коэффициент – младший коэффициент в уравнении. Данное уравнение основано на модели MeMo v1.0. Стоит отметить, что поставленная обратная задача ранее теоретически не исследовалась, а предложенные методы ее решения использовали достаточно большие наборы данных, в отличие от настоящей работы.
Основные результаты исследования: был получен алгоритм численного решения задачи, основанный на методе наискорейшего спуска, который показал достаточно хорошую сходимость для набора искусственных данных. Ошибка восстановления скорости потребления метана по глубине не превышает 19 %, а в среднем составляет 16 %. Ошибка восстановления концентрации метана по глубине для двукратного количества точек относительно измеренных составляет 2,3 %.
Рассмотрена коэффициентная обратная задача определения геометрических параметров продольного прямоугольного паза по собственным частотам изгибных колебаний прямоугольного стержня. Предполагается, что паз проходит не по всей длине, а от определенной точки до правого конца. Для решения задачи стержень с продольным пазом моделируется в виде двух стержней, причем первый не имеет паз, а второй имеет.
В месте соединения используются условия сопряжения, в которых приравниваются величины прогибов, углов поворота, изгибающие моменты и перерезывающие силы. Исследованы закономерности поведения собственных частот изгибных колебаний при изменении длины паза. Предложен метод решения, позволяющий определять искомые параметры по конечному числу собственных значений изгибных колебаний. Показано, что решение однозначно в случае использования частотных спектров относительно взаимно перпендикулярных осей.
В монографии рассматриваются методы решения одного класса нелокальных задач теплопроводности. Требуется восстановить решение при помощи дополнительного условия, связывающего значения неизвестной функции в начальный и финальный моменты времени. Проведён теоретический анализ поставленной нелокальной задачи и изучен вопрос её корректности. Составлен специальный алгоритм численного решения, использующий принцип сжимающего оператора. Показано, что определяющим свойством является возможность обобщения данного метода на случай уравнения с произвольным положительным коэффициентом, задающим боковой теплообмен. При помощи программного пакета MATLAB разработана компьютерная модель и проведена серия вычислительных экспериментов, показавших высокую надёжность алгоритма. Программная реализация модели размещена по адресу: https://github.com/lovgager/heat
Рассматривается обратная задача нахождения решения и одномерного ядра интегрального члена неоднородного интегродифференциального уравнения гиперболического типа из условий, составляющих прямую задачу, и некоторого дополнительного условия. Сначала исследуется прямая задача, при этом ядро интегрального члена предполагается известным. Далее, используя дополнительную информацию о решении прямой задачи, получаем интегральное уравнение относительно ядра интеграла h(t), интегрального члена. Таким образом, задача сводится к решению системы интегральных уравнений вольтерровского типа второго рода. Полученная система записывается в виде операторного уравнения. Для доказательства глобальной однозначной разрешимости этой задачи применяется методс жатых отображений в пространстве непрерывных функций с весовыми нормами. Доказана теорема условной устойчивости решения обратной задачи, при этом используется метод оценок интегралов и неравенство Гроноулла.
Рассматриваются кинематические параметры движения четырехногого робота-собаки на основе адаптивного генератора походок. Анализируются возможности адаптивного генератора походок (кинематического планировщика) для реализации движения робота в различных направлениях, в повороте и изменении положения корпуса. Решается обратная задача, с определением программных перемещений приводов в шагающих движителях. Адаптивный генератор может быть использован в системах управления роботом-собакой для синтеза заданного программного движения корпуса робота.
Работа посвящена построению параллельных алгоритмов решения прямой начально-краевой задачи и обратной задачи о восстановлении правой части для уравнения диффузии с дробной производной по времени. При использовании дополнительной информации о решении в некоторой внутренней точке обратная задача сводится к прямой задаче для вспомогательного уравнения. После применения конечно-разностных схем задачи сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений. Разработанные алгоритмы основаны на методе параллельной прогонки и реализованы для многоядерных процессоров с использованием технологии OpenMP. Проведены численные эксперименты для исследования производительности разработанных алгоритмов.
This paper is concerned with implementation of wave tomography algorithms on modern SIMD CPU and GPU computing platforms. The field of wave tomography, which is currently under development, requires powerful computing resources. Main applications of wave tomography are medical imaging, nondestructive testing, seismic studies. Practical applications depend on computing hardware. Tomographic image reconstruction via wave tomography technique involves solving coefficient inverse problems for the wave equation. Such problems can be solved using iterative gradient-based methods, which rely on repeated numerical simulation of wave propagation process. In this study, finite-difference time-domain (FDTD) method is employed for wave simulation. This paper discusses software implementation of the algorithms and compares the performance of various computing devices: multi-core Intel and ARM-based CPUs, NVidia graphics processors.
Рассматриваются априорные оценки неоднозначности (погрешности) приближенных решений условно-корректных нелинейных обратных задач, основанные на модуле непрерывности обратного оператора и его модификациях. Установлена связь модуля непрерывности обратного оператора с разрешающей способностью геофизического метода. Показано, что в классе кусочно-постоянных решений, определенных на заданной сетке параметризации, модуль непрерывности обратного оператора и его модификации монотонно возрастают с увеличением размерности сетки. Предложен метод построения оптимальной сетки параметризации, которая имеет максимальную размерность при условии, что модуль непрерывности обратного оператора не превышает заданной величины. Представлен численный алгоритм расчета модуля непрерывности обратного оператора и его модификаций с использованием алгоритмов Монте-Карло, исследуются вопросы сходимости алгоритма. Предлагаемый метод применим также для расчета классических апостериорных оценок погрешности. Приводятся численные примеры для нелинейных обратных задач геоэлектрики.
В статье представлен метод построения векторных полей, фазовые портреты которых имеют конечные множества заданных особых траекторий (предельных циклов, простых и сложных особых точек, сепаратрис) и заданные топологические структуры в ограниченных областях фазовой плоскости. Задача построения таких векторных полей является обобщением ряда известных обратных задач качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложенный метод её решения расширяет возможности математического моделирования динамических систем с заданными свойствами в различных областях науки и техники.