Книга посвящена задачам статики и динамики сложных систем. Стержнем изложения является формальная модель коллективного поведения, охватывающая широкий класс задач из области управления, экономики, организации, биологии, техники и др. Большинство излагаемых вопросов в систематизированном виде ранее не рассматривалось (вопросы глобальной обратимости отображений и глобальной разрешимости неявных функций, ряд задач сравнительной статики, вопросы глобальной устойчивости ансамблей динамических систем с приложениями к анализу игровых моделей и ряд других).
В доступной форме излагаются топологические методы с ориентацией на системные приложения. У читателя не предполагаются специальные математические познания, выходящие за рамки обычной программы технического вуза.
Понятие “отображение” — одно из ключевых понятий, играющих большую роль в современных дисциплинах, в которых алгебраический подход применяется для анализа структур и отношений. В книге изучаются отображения в многочисленных аспектах: унарные алгебры, полугруппы, эндоморфизмы универсальных алгебр.
Первая часть книги носит вводный характер. Здесь излагаются основные понятия и факты из теории отображений, которые используются для определения алгебраических отношений и их совместимости.
Вторая часть книги представляет определение конструкций, рассчитанных на построение широкого арсенала алгебраических объектов. Это может быть полезным в исследованиях математических структур и их приложений, включая области математической лингвистики, теорию систем и другие дисциплины, где алгебраические подходы применяются для решения ключевых задач.
Цель работы: уменьшение размера открытого ключа двухключевых алгоритмов многомерной криптографии, основанных на вычислительной трудности решения систем многих степенных уравнений со многими неизвестными.Метод исследования: использование нелинейных отображений, задаваемых в виде операций возведения в степень в конечных расширенных полях GF(qm), представленных в форме конечных алгебр. Последнее обеспечивает возможность выполнения операции возведения в степень в поле GF(qm) путем вычисления значений степенных многочленов над полем GF(q), задающих трудно обратимое нелинейное отображение векторного пространства над GF(q) с потайным ходом. Благодаря использованию нелинейных отображений данного типа обеспечивается возможность задания открытого ключа в алгоритмах многомерной криптографии в виде нелинейного отображения, реализуемого как вычисление значений набора многочленов третьей и шестой степени. При этом за счет использования маскирующих линейных отображений, не приводящих к увеличению числа слагаемых в многочленах, уменьшается размер открытого ключа по сравнению с известными алгоритмами-аналогами, в которых открытый ключ представлен набором многочленов второй и третьей степени. Предлагаемый подход потенциально расширяет области практического применения постквантовых алгоритмов открытого шифрования и электронной цифровой подписи, относящихся к многомерной криптографии, за счет существенного уменьшения размера открытого ключа.Результаты исследования: сформулированы основные положения нового подхода к разработке алгоритмов многомерной криптографии Предложено задание трудно обратимых нелинейных отображений с потайным ходом в виде операций возведения во вторую и третью степень в конечных расширенных полях GF(qm), представленных в виде конечной алгебры. Дано обоснование задания открытого ключа в виде, включающем суперпозицию двух нелинейных отображений, выполняемых как вычисление набора многочленов второй и третьей степени, заданных над GF(q). Предложены приемы реализаций отображений указанного типа и рассмотрены конкретные варианты задания полей GF(qm) в форме конечных алгебр. Выполнена оценка размера открытого ключа в алгоритмах, разработанных в рамках нового подхода. при заданном уровне стойкости.Научная и практическая значимость результатов статьи состоит в основных положениях нового способа построения алгоритмов многомерной криптографии, основанных на вычислительной трудности решения систем многих степенных уравнений со многими неизвестными и относящихся к постквантовым криптосхемам. Предлагаемый подход расширяет области практического применения постквантовых алгоритмов данного типа за счет существенного уменьшения размера открытого ключа, обеспечивающего предпосылки повышения производительности и уменьшения технических ресурсов для их реализации.