Научный архив: статьи

В работе рассматривается класс линейных автономных дифференциальных уравнений нейтрального типа. Изучаемое уравнение, с одной стороны, возникает в различных прикладных задачах, таких как динамика популяции клеток, движение плоских упругих плит с учетом трения, исследование дефектов с помощью ультразвука. С другой стороны, это уравнение обладает большим разнообразием асимптотических свойств решений и поэтому интересно также с теоретической точки зрения, что подтверждается значительным количеством чисто теоретических исследований. Исследуемое уравнение являет собой удачный пример объекта, который достаточно прост для того, чтобы удалось получить эффективные признаки устойчивости, и в то же время достаточно сложен, чтобы в нем проявилось все разнообразие асимптотических свойств решений автономных уравнений нейтрального типа. Исследование устойчивости рассматриваемого уравнения сводится к изучению асимптотических свойств его фундаментального решения и функции Коши. Известен критерий экспоненциальной устойчивости изучаемого уравнения и построена его область устойчивости в пространстве коэффициентов. В настоящей работе исследуется положительность фундаментального решения и функции Коши данного уравнения, а также устанавливаются двусторонние экспоненциальные оценки указанных функций. Для этого известная лемма о дифференциальном неравенстве обобщается на линейное автономное дифференциальное уравнение нейтрального типа. Далее доказывается, что если рассматриваемое уравнение экспоненциально устойчиво, а его характеристическая функция имеет хотя бы один вещественный корень, то его фундаментальное решение и функция Коши положительны на положительной полуоси. Этому условию придается геометрический вид – описывается соответствующая область в пространстве параметров уравнения. На основе положительности фундаментального решения и функции Коши строятся их двусторонние экспоненциальные оценки. Показатели экспоненты и коэффициенты в полученных оценках фундаментального решения и функции Коши являются точными. Эффективность установленных в статье результатов иллюстрируется примером.

Исследуется устойчивость линейного автономного разностного уравнения с двумя комплексными коэффициентами и различными запаздываниями. Отправной точкой исследования является теорема Шура – Кона о расположении корней характеристического уравнения на комплексной плоскости относительно единичного круга. Для построения области экспоненциальной устойчивости исследуемого уравнения в пространстве параметров используется метод D-разбиений, состоящий в построении таких поверхностей в фазовом пространстве, что при переходе точки пространства через эти поверхности изменяется число корней соответствующего точке характеристического уравнения, находящихся вне единичного круга комплексной плоскости. Область, которой соответствует нулевое число таких корней, является областью устойчивости уравнения. Эта схема реализована для указанного разностного уравнения: найдены геометрические критерии устойчивости и описаны области экспоненциальной устойчивости в четырехмерном пространстве коэффициентов. Отдельно изучена равномерная устойчивость, областью которой является область экспоненциальной устойчивости, дополненная частью границы. Для точного описания области равномерной устойчивости потребовалось описание «кривой кратности», все точки которой соответствуют кратным корням характеристического уравнения. Полученные результаты могут быть применены к исследованию процессов в физике, технике, экономике, биологии, при моделировании которых используются дискретные модели в виде разностных уравнений

19 марта 2024 г. ушла из жизни Лина Фазыловна Рахматуллина, известный математик, основатель современной теории линейных функционально-дифференциальных уравнений, доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный работник высшей школы Российской Федерации

Исследуется проблема разницы между требованиями к проекту в отношении сроков окончания, а именно повышение эффективности принятия решений в проектном управлении относительно вероятных сроков окончания проекта. На основе математических моделей, без специальных допущений относительно природы проекта показано, что задачи минимизации среднего значения длительности проекта, его наиболее вероятной продолжительности, медианного срока выполнения, а также такого срока, который гарантирует выполнение проекта с заданной вероятностью, не сводимы друг к другу и требуют различных управленческих решений. Сделан вывод, что популярные в проектном управлении математические модели, которые сводят неопределенность в сроках к единственному параметру, неадекватно отражают эту разницу в требованиях и могут быть усовершенствованы, чтобы их практические следствия были прозрачнее для проектных менеджеров, а также, что при принятии решений в рамках управления реальными проектами следует конкретизировать требования заказчика и однозначно определять, какой из сроков для него является ключевым. В результате исследования доказано, что в рамках любого достаточно сложного проекта всегда существуют такие управленческие решения, которые будут оправданы с точки зрения минимизации среднего срока, но приведут к увеличению медианного или наиболее вероятного срока завершения.

Рассматривается сравнительный анализ методов построения виртуальных анализаторов с использованием робастной регрессии, гребневой регрессии, метода ортогональных проекций на скрытые структуры на основе ядра (англ. K-OPLS), метода чередующихся условных математических ожиданий (англ. ACE) и нейросетей прямого распространения. Данные модели в составе виртуальных анализаторов предназначены для оценки значений точек фракционного состава керосиновой фракции - продукта колонны фракционирования - в режиме реального времени. В ходе построения моделей рассмотрен вопрос усреднения значений входных переменных за определенный промежуток времени для привязки к значениям выходных переменных. В отличие от существующих работ, в данном исследовании обучение и тестирование моделей осуществляется на ограниченных по значениям выходной переменной сегментах данных, т. е. в условиях пропусков данных в обучающей выборки. Показано влияние ширины интервала усреднения значений входной переменной на точность оценки получаемых моделей. Также показано, что наименьшее значение средней абсолютной ошибки при оценке точек фракционного состава обеспечивают модели на основе нейронных сетей и K-OPLS при различных вариантах обучения и тестирования.

Рассматривается актуальная проблема поиска закономерностей в больших объемах статистических данных. Инструментом анализа данных выступает регрессионный анализ. При построении регрессионных моделей исследователи зачастую стремятся только к их высокому качеству аппроксимации. Но, как отмечено в современных научных работах, одной такой метрики недостаточно. Поэтому сегодня активно развивается интерпретируемое машинное обучение. Ранее автором было предложено определение вполне интерпретируемой линейной регрессии, а задача ее построения была формализована в виде задачи частично-булевого линейного программирования. Исследования выявили высокую эффективность разработанного математического аппарата при решении задач обработки больших данных. Поэтому было принято решение расширить предложенную технологию для построения квазилинейных регрессий. В статье дано определение вполне интерпретируемой квазилинейной регрессии, включающее 6 условий. Разработан алгоритм интерпретации влияния в оцененной квазилинейной регрессии монотонно преобразованных объясняющих переменных на зависимую переменную. Задача построения вполне интерпретируемой квазилинейной регрессии формализована в виде задачи частично-булевого линейного программирования. Показано, как в этой задаче выбирать допустимые границы параметра M. Для демонстрации работоспособности предложенного математического аппарата решена задача моделирования прочности бетона на сжатие по данным, содержащим более 1000 наблюдений. Для этого использовалась программа «ВИнтер-2». В построенную модель вошли следующие преобразованные переменные: цементно-водное отношение, шлак доменной печи, пластификатор и возраст бетона. Построенная регрессия оказалась лучше по качеству аппроксимации и проще по структуре существующей модели. Дана интерпретация построенной квазилинейной регрессии. Влияние объясняющих переменных на прочность бетона в ней согласуется как с содержательным смыслом задачи, так и с другими существующими математическими моделями. Предложенная в статье технология построения вполне интерпретируемых квазилинейных регрессий обладает высоким потенциалом для решения задач обработки больших данных в различных предметных областях.

Исследована устойчивость по начальной функции линейного автономного функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа. Анализируется устойчивость по Ляпунову, асимптотическая и сильная асимптотическая, а также экспоненциальная устойчивость уравнения и их взаимосвязь. Определения всех типов устойчивости формулируются в терминах функции Коши - функции, позволяющей в явном виде записать общее решение уравнения. Основное внимание уделено исследованию устойчивости по начальной функции из пространств суммируемых функций. Используется известное представление решения функционально-дифференциального уравнения с помощью интегрального оператора, ядром которого является функция Коши. Вопросы устойчивости исследуются для уравнения с кратным запаздыванием при производной и распределенным запаздыванием при неизвестной функции. Показано, что для такого уравнения сохраняются все свойства, ранее доказанные для уравнения с кратным запаздыванием при неизвестной функции. А именно показано, что сильная асимптотическая устойчивость рассматриваемого уравнения с начальной функцией из пространства L 1 эквивалента экспоненциальной оценки функции Коши, кроме того, из любого из этих свойств следует экспоненциальная устойчивость по начальной функции в любом из пространств L p при 1≤p≤∞. При этом, как и для уравнения с кратными запаздываниями, сильная асимптотическая устойчивость в пространстве L p для некоторого p>1 может не быть равносильной экспоненциальной устойчивости.

Одной из важнейших в экономике, учебном процессе и других сферах выступает задача рационального распределения ограниченных ресурсов. Актуальность решения данной проблемы определяется ростом стоимости ресурсов и увеличением их вклада в конечный продукт. В учебном процессе имеются задачи, требующие распределения ресурсов для их осуществления. Такими задачами являются, например, учебные задания, проекты, работы. В качестве ресурсов могут выступать часы учебных занятий, количество мероприятий, информационное обеспечение. Целью статьи является разработка метода оптимального распределения ресурсов в учебном процессе в условиях неопределенности. Для достижения цели в качестве показателя эффективности выбрана взвешенная сумма вероятностей выполнения всех заданий данной работы; заданы ограничения, исходя из располагаемых ресурсов. Разработан новый аналитический метод решения задачи распределения ресурсов. Метод основан на использовании неопределенных множителей Лагранжа. Проводится исследование и обоснование необходимого и достаточного условий существования экстремума целевой функции. Для учета нечеткости информации исходные данные задачи задаются в виде нечетких чисел треугольного вида. В разработанном методе выделяются три оптимизационных задачи нелинейного программирования для наилучших, средних и наихудших условий. Рассматривается решение задачи для распределения однородных и неоднородных ресурсов. Результатом исследования является разработанный новый способ распределения однородных и неоднородных ресурсов в условиях неопределенности. Предложенный в статье метод может найти применение не только в учебном процессе, но и в других областях, например, в экономике, сельском хозяйстве.

Предлагается простой дискретный алгоритм, моделирующий работу мультиполярного ассоциативного нейрона с синапсами, и простая приближенная математическая модель синапса. Коэффициенты моделей находятся путем решения задачи идентификации по результатам измерений входов и выходов блоков, из которых состоит структурная схема нейрона и синапса. Полученные математические модели частично отражают основные свойства реальных нейронов и синапсов. Они могут использоваться для создания искусственных нейронных сетей и систем искусственного интеллекта при математическом моделировании работы мозга человека.

В последние годы внимание исследователей привлекает активная жидкость, которая включает элементы (клетки, макромолекулы, бактерии), способные к самодвижению. Поведение такой жидкости определяется способностью элементов преобразовывать энергию среды в механическую работу и создавать новые состояния. Использование программируемых микроботов открывает возможности по достижению таких состояний среды, которые в природных условиях не наблюдаются. В данной работе мы предполагаем, что свободно плавающие микроботы обладают свойством термотаксиса, т. е. проявляют двигательную реакцию на градиент температуры. Так как плотность самих ботов может задаваться при их производстве, то рой может локально создавать плотность, которая отличается от плотности несущей среды. Таким образом, коллективные действия ботов по перераспределению концентрации роя в жидкости потенциально могут в реальном времени компенсировать изменения плотности критически перегретой жидкости. В данной работе мы теоретически исследуем возможность роя активно управлять физической системой на примере тороидального термосифона, представляющего собой узкий замкнутый канал с круглым сечением, находящийся под действием силы тяжести и заданного теплопотока через границы. Предложена математическая модель явления, которая включает уравнения движения жидкости, передачи тепла и концентрации микроботов. Методом Галеркина получена конечномерная динамическая модель 7-го порядка, в которой первое уравнение описывает скорость жидкости в канале, два уравнения описывают динамику тепловых мод и четыре уравнения определяют динамику концентрации роя ботов. Нелинейный анализ полученной модельной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) показывает, что при определенных условиях рой микроботов способен переключать режимы тепловой конвекции между стационарным, периодическим и хаотическим поведением. Показано, что управление зависит от плотности микроботов и скорости их перемещения в среде.

Совокупность информационных, производственных рисков и их агрегирование в пожарной опасности имеют разрушительный характер для техносферы. Ограниченные несистемные исследования в области формального описания моделей информационной, функциональной и пожарной безопасности на опасных производственных объектах обусловливают необходимость развития комплексной математической модели применительно к техносфере. Рассмотрены математические модели на основе Марковских процессов, которые используются при решении различных задач для чрезвычайных ситуаций на опасных производственных объектах.

Рассматривается модель поддержки управления при распределении общего фонда рабочего времени сотрудников органов государственного пожарного надзора. Предложенная математическая модель основана на методах линейного программирования и позволяет оптимизировать распределение рабочего времени с учетом сезонных изменений приоритетов и индивидуальных особенностей сотрудников. Модель учитывает такие факторы, как количество и сложность задач, приоритетность мероприятий, а также производительность труда сотрудников.

Практическая значимость модели заключается в повышении эффективности использования рабочего времени и возможности автоматизации процесса планирования. Результаты исследования могут быть использованы для совершенствования организационной системы государственного пожарного надзора и повышения качества выполнения её задач.