Статьи

В недавней работе одного из авторов, опубликованной в журнале «Lobachevskii Journal of Mathematics» (2024. Vol. 45, №1. С. 376-382), методом монотонных операторов были доказаны глобальные теоремы об однозначной разрешимости различных классов нелинейных интегральных уравнений со степенным суммарным ядром в пространствах Лебега. Однако эти теоремы не содержат никакой информации о том, как можно найти решения. В данной работе в вещественном гильбертовом пространстве суммируемых с квадратом функций, комбинированием метода потенциальных монотонных операторов и принципа сжимающих отображений, подробно доказано, что решения этих уравнений можно найти методом последовательных приближений. Для последовательных приближений даны оценки скорости их сходимости к точному решению. При этом используется идея одной работы Браудера-Петришина замены исходного уравнения на эквивалентное уравнение с произвольным параметром, последующий выбор которого позволяет применить принцип сжимающих отображений. Полученные результаты охватывают также и случай соответствующих линейный интегральных уравнений. Доказательства основаны не на обращении линейного интегрального оператора, входящего в рассматриваемые уравнения, а на обращении нелинейного функционального оператора суперпозиции.